Calcule as integrais utilizando integrais por partes:
integral x cdot(ln x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral por partes
integral xcdot(ln x)^2,dx
O conteúdo aqui é o método de integração por partes, que usa a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos escolher as partes de forma que u reduza o grau do logaritmo.

Passo 2

Escolhemos
u = (ln x)^2, dv = x,dx
Então
du = 2,ln x;1x,dx = 2ln xx,dx, v = integral x,dx = x^22
Aplicando a fórmula:
integral x(ln x)^2,dx = x^22(ln x)^2 - integral x^22cdot2ln xx,dx = x^22(ln x)^2 - integral xln x,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral restante integral xln x,dx também por partes. Tomamos
u = ln x, dv = x,dx
para obter
du = 1x,dx, v = x^22
Logo,
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln x - integral x2,dx = x^22ln x - x^24

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta em integral x(ln x)^2,dx:
integral x(ln x)^2,dx = x^22(ln x)^2 - l(x^22ln x - x^24r) = x^22(ln x)^2 - x^22ln x + x^24
Podemos escrever de forma mais compacta:
integral x(ln x)^2,dx = x^22l((ln x)^2 - ln x + tfrac12r) + C

Resposta

integral x(ln x)^2,dx = x^22l((ln x)^2 - ln x + tfrac12r) + C

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