Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral x+3(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x+3(x-1)^2,dx
utilizando frações parciais. O conteúdo aqui é decompor a função racional em termos mais simples do tipo Ax-1+B(x-1)^2 e depois aplicar integrais básicas de potências e logaritmo.

Passo 2

Fazemos a decomposição
x+3(x-1)^2 ;=;Ax-1+B(x-1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2, obtemos
x+3 ;=;A,(x-1)+B

Passo 3

Expandindo e comparando coeficientes em x+3 = A(x-1)+B = A x - A + B, temos:
- Coeficiente de x: 1 = A,
- Termo constante: 3 = -A + B.
Como A=1, segue 3 = -1 + B e portanto B=4.

Passo 4

Substituindo A e B na integral,
integral x+3(x-1)^2,dx =integral!gl(1x-1+4(x-1)^2gr),dx
Agora usamos as integrais conhecidas:
integral 1x-1,dx = lnl|x-1r|, integral 1(x-1)^2,dx = integral (x-1)^-2,dx = -1x-1
Logo,
integral 4(x-1)^2,dx = 4integral (x-1)^-2,dx = -4x-1

Resposta

integral x+3(x-1)^2,dx = lnl|x-1r| ;-;4x-1 + C

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