Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral x^2+x+1x^2-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2+x+1x^2-x,dx
utilizando frações parciais. O conteúdo principal aqui é decompor a função racional em termos mais simples, mas antes verificamos se a fração é própria. Como o grau do numerador é igual ao do denominador, vamos primeiro usar divisão polinomial para separar uma parte polinomial e depois aplicar frações parciais à parte restante.

Passo 2

Fazemos a divisão de
x^2+x+1
por
x^2-x,
O quociente é 1 e o resto é
(x^2+x+1)-(x^2-x)=2x+1
Logo,
x^2+x+1x^2-x =1+2x+1x(x-1)

Passo 3

Agora decompomos
2x+1x(x-1)
em frações parciais do tipo
Ax+Bx-1
Temos
2x+1x(x-1) =Ax+Bx-1 =A(x-1)+B xx(x-1) =(A+B),x - Ax(x-1)
Igualando ao numerador 2x+1, obtemos o sistema
A+B=2, -,A=1 Longrightarrow A=-1,;B=3
Portanto,
2x+1x(x-1) =-1x+3x-1

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
integral x^2+x+1x^2-x,dx =integrall(1-1x+3x-1r),dx
Integramos termo a termo:
integral 1,dx = x, integral -1x,dx = -lnlvert xrvert, integral 3x-1,dx = 3lnlvert x-1rvert

Resposta

x - lnlvert xrvert + 3lnlvert x-1rvert + C

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