Exercício - Aula 4 - Parte
Ache a área no interior do laço menor da curva polar. Em seguida, determine a área entre o laço maior e o laço menor da curva polar. Curva polar:
Ache a área no interior do laço menor da curva polar. Em seguida, determine a área entre o laço maior e o laço menor da curva polar. Curva polar:
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas áreas da curva polar
- A área dentro do laço menor.
- A área entre o laço maior e o laço menor.
O conteúdo é cálculo de áreas em coordenadas polares, usando a fórmula
e precisamos primeiro determinar em que intervalos a curva gera o laço menor (onde
muda de sinal) e o laço maior.
Passo 2
Encontrar os zeros de
resolve onde a curva fecha o laço interno:
logo
Para
temos
e isso traça o laço menor; fora desse intervalo (
a
e
a
) traça-se o laço maior.
Passo 3
A área do laço menor é
Passo 4
Expandimos
Uma primitiva é
Logo
Passo 5
Portanto
Passo 6
A área total computada pela curva (soma dos dois laços) é
Passo 7
Assim a área do laço maior isoladamente vale
Passo 8
Finalmente, a área entre o laço maior e o laço menor é
Resposta
A área do laço menor é
e a área entre o laço maior e o laço menor é