Exercício - Aula 4 - Parte
Ache a área no interior do laço menor da curva polar. Em seguida, determine a área entre o laço maior e o laço menor da curva polar. Curva polar: r=12+cos (theta), 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas áreas da curva polar
r = tfrac12 + cos(theta), 0<= theta<= 2pi:
  1. A área dentro do laço menor.
  2. A área entre o laço maior e o laço menor.
    O conteúdo é cálculo de áreas em coordenadas polares, usando a fórmula
A=tfrac12integral r^2,dtheta,
e precisamos primeiro determinar em que intervalos a curva gera o laço menor (onde r muda de sinal) e o laço maior.

Passo 2

Encontrar os zeros de r resolve onde a curva fecha o laço interno:
r=0;Longrightarrow;tfrac12+costheta=0;Longrightarrow;costheta=-tfrac12
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theta1=tfrac2pi3, theta2=tfrac4pi3
Para theta1<=theta<=theta2 temos r<=0 e isso traça o laço menor; fora desse intervalo ( 0 a tfrac2pi3 e tfrac4pi3 a 2pi) traça-se o laço maior.

Passo 3

A área do laço menor é
Arm menor =tfrac12integraltheta1^theta2l(tfrac12+costhetar)^2dtheta =tfrac12integraltfrac2pi3^tfrac4pi3r^2,dtheta

Passo 4

Expandimos
r^2=l(tfrac12+costhetar)^2 =tfrac14+costheta+cos^2theta =tfrac34+costheta+tfrac12cos2theta
Uma primitiva é
F(theta)=tfrac3theta4+sintheta+tfrac14sin2theta
Logo
integraltfrac2pi3^tfrac4pi3r^2,dtheta =Fl(tfrac4pi3r)-Fl(tfrac2pi3r) =tfracpi2-tfrac3raiz34

Passo 5

Portanto
Arm menor =tfrac12l(tfracpi2-tfrac3raiz34r) =tfracpi4-tfrac3raiz38

Passo 6

A área total computada pela curva (soma dos dois laços) é
Arm total =tfrac12integral0^2pir^2,dtheta =tfrac12l[F(2pi)-F(0)r] =tfrac12cdottfrac3pi2 =tfrac3pi4

Passo 7

Assim a área do laço maior isoladamente vale
Arm maior = Arm total-Arm menor =tfrac3pi4-l(tfracpi4-tfrac3raiz38r) =tfracpi2+tfrac3raiz38

Passo 8

Finalmente, a área entre o laço maior e o laço menor é
Arm maior-Arm menor =l(tfracpi2+tfrac3raiz38r) -l(tfracpi4-tfrac3raiz38r) =tfracpi4+tfrac3raiz34

Resposta

A área do laço menor é
boxed,pi4-3raiz38,,
e a área entre o laço maior e o laço menor é
boxed,pi4+3raiz34,

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