Faça o gráfico da função e encontre duas parametrizações de orientações opostas cujos traços sejam o gráfico da função dada. Nas parametrizações escolhidas, indique os pontos inicial e final da curva.
f(x)=x^2, x in[0,2].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = x^2 definida no intervalo x in [0,2] . O objetivo é:
  1. Fazer o gráfico dessa função.
  2. Encontrar duas parametrizações que representem trajetórias nas direções opostas sobre esse gráfico.
  3. Para cada parametrização, indicar os pontos inicial e final da curva.
Para isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização e como representar graficamente funções quadráticas.

Passo 2

Vamos começar desenhando o gráfico da função f(x) = x^2 no intervalo de x de 0 a 2. Essa função é uma parábola que abre para cima, começando no ponto (0,0) e passando pelos pontos (1,1) e (2,4).
Gráfico de f(x) = x²

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é uma parametrização. Parametrizar uma curva significa descrevê-la usando um parâmetro, geralmente t , que varia dentro de um intervalo específico. Para uma função como f(x) = x^2 , podemos usar x como nosso parâmetro.

Passo 4

Vamos encontrar a primeira parametrização, que seguirá a direção crescente de x . Aqui, escolhemos t = x , onde t varia de 0 a 2.
A parametrização fica:
r1(t) = t t^2 , t in [0,2]
Pontos:
  • Inicial: Quando t = 0 , temos r1(0) = (0,0) .
  • Final: Quando t = 2 , temos r1(2) = (2,4) .

Passo 5

Para a segunda parametrização, queremos que a trajetória seja na direção oposta, ou seja, de x = 2 para x = 0 . Aqui, podemos definir t = 2 - x , onde t também varia de 0 a 2.
A parametrização fica:
r2(t) = 2 - t (2 - t)^2 , t in [0,2]
Pontos:
  • Inicial: Quando t = 0 , temos r2(0) = (2,4) .
  • Final: Quando t = 2 , temos r2(2) = (0,0) .

Resposta

As duas parametrizações com orientações opostas para o gráfico de f(x) = x^2 no intervalo [0,2] são:
  1. Primeira Parametrização (direção crescente):
r1(t) = t t^2 , t in [0,2]
  • Ponto Inicial: (0,0)
  • Ponto Final: (2,4)
  1. Segunda Parametrização (direção decrescente):
r2(t) = 2 - t (2 - t)^2 , t in [0,2]
  • Ponto Inicial: (2,4)
  • Ponto Final: (0,0)

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