Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral x^3+x+1x^2-4 x+3 d x

Passo 1

O enunciado pede
integral x^3+x+1x^2-4x+3,dx
O conteúdo é integração de funções racionais por frações parciais. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, vamos primeiro fazer divisão de polinômios para obter uma fração própria.

Passo 2

Dividindo x^3 + x + 1 por x^2 - 4x + 3 obtemos quociente x+4 e resto 14x - 11. Logo
x^3+x+1x^2-4x+3 = x+4 + 14x - 11(x-1)(x-3)

Passo 3

Decompondo a parte própria
14x - 11(x-1)(x-3) = Ax-1 + Bx-3,
multiplicamos por (x-1)(x-3) e obtemos
14x - 11 = A(x-3) + B(x-1)
Tomando x=1 fica 3 = -2A então A = -tfrac32. Tomando x=3 fica 31 = 2B então B = tfrac312. Assim
14x - 11(x-1)(x-3) = -32,1x-1 + 312,1x-3

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral(x+4),dx = x^22 + 4x,
integral -32,1x-1,dx = -32lnlvert x-1rvert,
integral 312,1x-3,dx = 312lnlvert x-3rvert
Somando tudo e incluindo a constante C, chega-se à integral desejada.

Resposta

integral x^3+x+1x^2-4x+3,dx = x^22 + 4x -32lnlvert x-1rvert + 312lnlvert x-3rvert + C

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