Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
a) g(x, y)=cos (x^2-y^2), sabendo que x=2 u-3 v, y=-5 u+8 v.
b) f(x, y)=sen(2 x+5 y), sabendo que x=cos (t), y=sen(t).
c) h(x, y, z)=x y+z^2, sabendo que x=s^2, y=2 r s, z=r^2.
d) p(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, sabendo que x=r sen phi cos theta, y=r sen phi sen theta, z=r cos phi

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais das funções usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma técnica fundamental no cálculo para derivar funções compostas. Precisaremos aplicar essa regra para cada subquestão, expressando as derivadas em termos das variáveis dadas.

Passo 2

a) g(x, y) = cos(x^2 - y^2) , onde x = 2u - 3v e y = -5u + 8v .
Primeiro, vamos identificar as funções compostas. Aqui, g é uma função de x e y , que por sua vez são funções de u e v . Queremos encontrar as derivadas parciais de g em relação a u e v .
Aplicando a regra da cadeia:
partial gpartial u = partial gpartial x cdot partial xpartial u + partial gpartial y cdot partial ypartial u
partial gpartial v = partial gpartial x cdot partial xpartial v + partial gpartial y cdot partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais necessárias:
partial gpartial x = -sin(x^2 - y^2) cdot 2x
partial gpartial y = -sin(x^2 - y^2) cdot (-2y) = 2y sin(x^2 - y^2)
partial xpartial u = 2 partial xpartial v = -3
partial ypartial u = -5 partial ypartial v = 8
Substituindo na regra da cadeia:
partial gpartial u = (-2x sin(x^2 - y^2)) cdot 2 + (2y sin(x^2 - y^2)) cdot (-5)
partial gpartial v = (-2x sin(x^2 - y^2)) cdot (-3) + (2y sin(x^2 - y^2)) cdot 8

Passo 3

b) f(x, y) = sin(2x + 5y) , onde x = cos(t) e y = sin(t) .
Aqui, f é uma função de x e y , que são funções de t . Queremos achar a derivada de f em relação a t .
Aplicando a regra da cadeia:
dfdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt
Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2 cos(2x + 5y)
partial fpartial y = 5 cos(2x + 5y)
dxdt = -sin(t)
dydt = cos(t)
Substituindo na regra da cadeia:
dfdt = 2 cos(2x + 5y) cdot (-sin(t)) + 5 cos(2x + 5y) cdot cos(t)

Passo 4

c) h(x, y, z) = xy + z^2 , onde x = s^2 , y = 2rs , e z = r^2 .
Aqui, h é uma função de x , y e z , que são funções de r e s . Queremos encontrar as derivadas parciais de h em relação a r e s .
Aplicando a regra da cadeia:
partial hpartial r = partial hpartial x cdot partial xpartial r + partial hpartial y cdot partial ypartial r + partial hpartial z cdot partial zpartial r
partial hpartial s = partial hpartial x cdot partial xpartial s + partial hpartial y cdot partial ypartial s + partial hpartial z cdot partial zpartial s
Calculando as derivadas parciais necessárias:
partial hpartial x = y
partial hpartial y = x
partial hpartial z = 2z
partial xpartial r = 0 partial xpartial s = 2s
partial ypartial r = 2s partial ypartial s = 2r
partial zpartial r = 2r partial zpartial s = 0
Substituindo na regra da cadeia:
partial hpartial r = y cdot 0 + x cdot 2s + 2z cdot 2r = 2s x + 4r z
partial hpartial s = y cdot 2s + x cdot 2r + 2z cdot 0 = 2s y + 2r x

Passo 5

d) p(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 , onde x = r sin phi cos theta , y = r sin phi sin theta , e z = r cos phi .
Aqui, p é uma função de x , y e z , que são funções de r , phi e theta . Queremos encontrar as derivadas parciais de p em relação a r , phi e theta .
Aplicando a regra da cadeia:
partial ppartial r = partial ppartial x cdot partial xpartial r + partial ppartial y cdot partial ypartial r + partial ppartial z cdot partial zpartial r
partial ppartial phi = partial ppartial x cdot partial xpartial phi + partial ppartial y cdot partial ypartial phi + partial ppartial z cdot partial zpartial phi
partial ppartial theta = partial ppartial x cdot partial xpartial theta + partial ppartial y cdot partial ypartial theta + partial ppartial z cdot partial zpartial theta
Calculando as derivadas parciais necessárias:
partial ppartial x = 2x
partial ppartial y = 2y
partial ppartial z = 2z
partial xpartial r = sin phi cos theta partial xpartial phi = r cos phi cos theta partial xpartial theta = -r sin phi sin theta
partial ypartial r = sin phi sin theta partial ypartial phi = r cos phi sin theta partial ypartial theta = r sin phi cos theta
partial zpartial r = cos phi partial zpartial phi = -r sin phi partial zpartial theta = 0
Substituindo na regra da cadeia:
partial ppartial r = 2x cdot sin phi cos theta + 2y cdot sin phi sin theta + 2z cdot cos phi
partial ppartial phi = 2x cdot r cos phi cos theta + 2y cdot r cos phi sin theta + 2z cdot (-r sin phi)
partial ppartial theta = 2x cdot (-r sin phi sin theta) + 2y cdot r sin phi cos theta + 2z cdot 0

Resposta

As derivadas parciais das funções são:
a)
partial gpartial u = -4x sin(x^2 - y^2) - 10y sin(x^2 - y^2)
partial gpartial v = 6x sin(x^2 - y^2) + 16y sin(x^2 - y^2)
b)
dfdt = -2 sin(t) cos(2x + 5y) + 5 cos(t) cos(2x + 5y)
c)
partial hpartial r = 2s x + 4r z
partial hpartial s = 2s y + 2r x
d)
partial ppartial r = 2x sin phi cos theta + 2y sin phi sin theta + 2z cos phi
partial ppartial phi = 2x r cos phi cos theta + 2y r cos phi sin theta - 2z r sin phi
partial ppartial theta = -2x r sin phi sin theta + 2y r sin phi cos theta

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