Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
a)
, sabendo que
.
b)
, sabendo que
.
c)
, sabendo que
.
d)
, sabendo que
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais das funções usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma técnica fundamental no cálculo para derivar funções compostas. Precisaremos aplicar essa regra para cada subquestão, expressando as derivadas em termos das variáveis dadas.
Passo 2
a)
, onde
e
.
Primeiro, vamos identificar as funções compostas. Aqui,
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
e
. Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na regra da cadeia:
Passo 3
b)
, onde
e
.
Aqui,
é uma função de
e
, que são funções de
. Queremos achar a derivada de
em relação a
.
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na regra da cadeia:
Passo 4
c)
, onde
,
, e
.
Aqui,
é uma função de
,
e
, que são funções de
e
. Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na regra da cadeia:
Passo 5
d)
, onde
,
, e
.
Aqui,
é uma função de
,
e
, que são funções de
,
e
. Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais das funções são:
a)
b)
c)
d)