Calcule os limites abaixo
lim x 0 (x+3)^3-27x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0(x+3)^3-27x
Este é um problema de limite que conduz à forma indeterminada tfrac00. Vamos usar a fatoração da diferença de cubos para resolver.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=0:
o numerador fica (0+3)^3-27=27-27=0 e o denominador é 0, gerando tfrac00. Precisamos, portanto, fatorar o numerador para simplificar.

Passo 3

A fórmula da diferença de cubos é
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + a b + b^2)
Aqui tomamos a = x+3 e b = 3. Assim,
(x+3)^3 - 3^3 = (x+3 - 3)l((x+3)^2 + 3(x+3) + 3^2r) = xl(x^2 + 9x + 27r)
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(x+3)^3 - 27x = x,(x^2 + 9x + 27)x = x^2 + 9x + 27

Passo 4

Agora que o x foi cancelado, basta tomar o limite direto:
limxto0(x^2 + 9x + 27) = 0 + 0 + 27 = 27

Resposta

27

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