Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral 1x^2-x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x^2-x-2,dx
usando frações parciais. Aqui o conteúdo é decompor a função racional em parcelas simples e depois integrar cada termo.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2-x-2 = (x-2)(x+1)
Procuramos constantes A e B tais que
1(x-2)(x+1) = Ax-2 + Bx+1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)(x+1) e obtemos
1 = A(x+1) + B(x-2)
Para achar A e B, usamos x=2 e x=-1:
em x=2: 1 = A(3) traz A=tfrac13.
em x=-1: 1 = B(-3) traz B=-tfrac13.

Passo 4

Substituindo na integral, vem
integral 1x^2-x-2,dx = 13integral 1x-2,dx - 13integral 1x+1,dx
Como integral1x-a,dx = lnlvert x-arvert, temos
13lnlvert x-2rvert - 13lnlvert x+1rvert + C

Resposta

integral 1x^2-x-2,dx = 13lnllvertx-2x+1rrvert + C

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