Faça o gráfico da equação e encontre duas parametrizações de orientações opostas cujos traços sejam o gráfico da função dada. Nas parametrizações escolhidas, indique os pontos inicial e final da curva. Quando a curva for fechada, indique o sentido da orientação.
y^2-x^2=1, y in[1, raiz2].

Passo 1

O enunciado pede o gráfico do conjunto de pontos
(x,y)mid y^2-x^2=1,;yin[1,raiz2]
e duas parametrizações de orientações opostas cujo traço seja exatamente esse arco de hipérbole. Nas parametrizações devemos indicar o ponto inicial e o ponto final.

Passo 2

Como y>=0, da equação
y^2=x^2+1
segue
y=raizx^2+1
A condição yin[1,raiz2] implica raizx^2+1in[1,raiz2], ou seja
x^2in[0,1]Longrightarrow xin[-1,1]
Portanto o gráfico é o arco da curva explícita
y=raiz1+x^2, xin[-1,1],
que vai do ponto (-1,raiz2), desce até (0,1) e sobe até (1,raiz2).

Passo 3

Uma parametrização natural, indo da esquerda para a direita, é tomar t=x. Definimos
gamma1(t)=l(t,raiz1+t^2r), tin[-1,1]
Aqui o ponto inicial é
gamma1(-1)=(-1,raiz2)
e o ponto final é
gamma1(1)=(1,raiz2)

Passo 4

Para obter a orientação oposta basta inverter o sentido do parâmetro. Por exemplo, usando u decrescente:
gamma2(u)=l(u,raiz1+u^2r), uin[1,-1]
Nesta parametrização o ponto inicial é
gamma2(1)=(1,raiz2)
e o ponto final é
gamma2(-1)=(-1,raiz2),
isto é, a curva percorre da direita para a esquerda.

Resposta

Primeira parametrização (orientação esquerda todireita):
gamma1(t)=l(t,raiz1+t^2r), tin[-1,1], gamma1(-1)=(-1,raiz2),;gamma1(1)=(1,raiz2)
Segunda parametrização (orientação direita toesquerda):
gamma2(u)=l(u,raiz1+u^2r), uin[1,-1], gamma2(1)=(1,raiz2),;gamma2(-1)=(-1,raiz2)

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