Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral x+1x(x-1)(x-2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x+1x(x-1)(x-2),dx
utilizando o método de frações parciais. Vamos então decompor a função racional em parcelas simples e, em seguida, integrar cada termo usando logaritmos.

Passo 2

Escrevemos a fração como soma de três termos do tipo A/x, B/(x-1) e C/(x-2):
x+1x(x-1)(x-2) = Ax + Bx-1 + Cx-2
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x-2), obtemos
x+1 = A,(x-1)(x-2) + B,x(x-2) + C,x(x-1)

Passo 3

Para achar A, B e C usamos valores de x que anulem cada fator:
  1. Para x=0:
    0+1 = Acdot(-1)cdot(-2) ;Longrightarrow; 1 = 2A ;Longrightarrow; A = tfrac12
  2. Para x=1:
    1+1 = Bcdot1cdot(-1) ;Longrightarrow; 2 = -B ;Longrightarrow; B = -2
  3. Para x=2:
    2+1 = Ccdot2cdot1 ;Longrightarrow; 3 = 2C ;Longrightarrow; C = tfrac32
Logo
x+1x(x-1)(x-2) = 1/2x - 2x-1 + 3/2x-2

Passo 4

Reescrevendo a integral como soma de termos simples:
integral x+1x(x-1)(x-2),dx = integral l(tfrac121x - 21x-1 + tfrac321x-2r),dx

Passo 5

Agora integramos cada parcela, lembrando que
integral 1x-a,dx = lnl|x-ar| + C
Portanto,
integral tfrac121x,dx = tfrac12lnl|xr|, integral l(-21x-1r),dx = -2lnl|x-1r|, integral tfrac321x-2,dx = tfrac32lnl|x-2r|

Resposta

integral x+1x(x-1)(x-2),dx = tfrac12lnl|xr| -2lnl|x-1r| +tfrac32lnl|x-2r| + C

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