Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral 2(x-1)^2(x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral 2(x-1)^2(x+2),dx
O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais de uma função racional própria. Para resolver, vamos escrever
2(x-1)^2(x+2)
como soma de termos mais simples cujo antiderivado seja imediato.

Passo 2

Suponha a decomposição
2(x-1)^2(x+2) ;=; Ax-1 ;+;B(x-1)^2;+;Cx+2
Multiplicando por (x-1)^2(x+2), obtemos
2 ;=; A,(x-1)(x+2);+;B,(x+2);+;C,(x-1)^2

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de
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Comparando com , temos o sistema
Da primeira equação . Na terceira:
Portanto

Passo 4

Substituindo de volta, a integral vira
integral2(x-1)^2(x+2),dx =integrall(-tfrac29,1x-1 ;+;tfrac23,1(x-1)^2 ;+;tfrac29,1x+2r),dx
Integramos termo a termo:
integral -tfrac29,dxx-1 = -tfrac29lnlvert x-1rvert, integral tfrac23,(x-1)^-2,dx = tfrac23l[-(x-1)^-1r] = -tfrac23,1x-1,
integral tfrac29,dxx+2 = tfrac29lnlvert x+2rvert

Resposta

boxed integral 2(x-1)^2(x+2),dx = -tfrac29lnlvert x-1rvert -tfrac23(x-1) +tfrac29lnlvert x+2rvert + C

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