Este é um caso típico em que usamos decomposição em frações parciais, pois o integrando é uma função racional cujo denominador se fatoriza em raízes lineares.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 3
Escrevemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos a identidade
Expandindo cada termo:
Comparando com , montamos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação A = -B - C.
Substituindo na terceira: -(-B-C)-2B+2C =3 Rightarrow B + C -2B +2C =3 Rightarrow -B +3C =3 Rightarrow B = 3C -3
Da segunda equação: - (3C-3) -3C =1 Rightarrow -3C +3 -3C =1 Rightarrow -6C = -2 Rightarrow C = tfrac13
Logo B = 3cdot tfrac13 -3 = -2 e A = -B - C = 2 - tfrac13 = tfrac53
Passo 5
Substituindo na integral, fica
integral x+3x^3-2x^2-x+2,dx = integral l(5/3x-2 - 2x-1 + 1/3x+1r),dx
Integramos termo a termo, lembrando que integral 1x-a,dx = lnlvert x-arvert:
53lnlvert x-2rvert -2lnlvert x-1rvert +13lnlvert x+1rvert + C
Resposta
53,lnlvert x-2rvert -2,lnlvert x-1rvert +13,lnlvert x+1rvert + C