Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral x+3x^3-2 x^2-x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x+3x^3-2x^2-x+2,dx
Este é um caso típico em que usamos decomposição em frações parciais, pois o integrando é uma função racional cujo denominador se fatoriza em raízes lineares.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3-2x^2-x+2 = (x^2-1)(x-2) = (x-1)(x+1)(x-2)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
x+3(x-2)(x-1)(x+1) = Ax-2 + Bx-1 + Cx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-1)(x+1), obtemos a identidade
x+3 = A(x-1)(x+1) + B(x-2)(x+1) + C(x-2)(x-1)
Expandindo cada termo:
A(x^2-1) + B(x^2 - x - 2) + C(x^2 - 3x + 2) = (A+B+C)x^2 +(-B-3C)x +(-A-2B+2C)
Comparando com x+3 = 0cdot x^2 +1cdot x +3, montamos o sistema
A + B + C = 0, -,B - 3C = 1, -,A - 2B + 2C = 3

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação A = -B - C.
  • Substituindo na terceira:
    -(-B-C)-2B+2C =3
    Rightarrow B + C -2B +2C =3
    Rightarrow -B +3C =3
    Rightarrow B = 3C -3
  • Da segunda equação:
    - (3C-3) -3C =1
    Rightarrow -3C +3 -3C =1
    Rightarrow -6C = -2
    Rightarrow C = tfrac13
  • Logo B = 3cdot tfrac13 -3 = -2 e A = -B - C = 2 - tfrac13 = tfrac53

Passo 5

Substituindo na integral, fica
integral x+3x^3-2x^2-x+2,dx = integral l(5/3x-2 - 2x-1 + 1/3x+1r),dx
Integramos termo a termo, lembrando que
integral 1x-a,dx = lnlvert x-arvert:
53lnlvert x-2rvert -2lnlvert x-1rvert +13lnlvert x+1rvert + C

Resposta

53,lnlvert x-2rvert -2,lnlvert x-1rvert +13,lnlvert x+1rvert + C

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