Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:
integral sen^2(pi x) cos ^5(pi x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral sin^2(pi x)cos^5(pi x),dx. O conteúdo é integrais trigonométricas e vamos usar identidades trig e substituição para resolver.

Passo 2

Como a potência de cos(pi x) é ímpar (5), separamos um fator cos(pi x) e aplicamos a identidade cos^2(pi x)=1-sin^2(pi x) para reescrever cos^4(pi x)=[cos^2(pi x)]^2=(1-sin^2(pi x))^2.
Definimos u=sin(pi x). Assim, du=picos(pi x),dx, ou seja, cos(pi x),dx=tfracdupi.

Passo 3

Substituindo na integral temos
integral sin^2(pi x)cos^4(pi x)cos(pi x),dx =1piintegral u^2(1-u^2)^2,du .
Expandindo o integrando: u^2(1-u^2)^2 = u^2 - 2u^4 + u^6. Integramos termo a termo:
integral (u^2 - 2u^4 + u^6),du = u^33 - 2u^55 + u^77 .

Passo 4

Multiplicando por 1/pi e voltando a x, obtemos
sin^3(pi x)3pi - 2sin^5(pi x)5pi + sin^7(pi x)7pi + C .

Resposta

sin^3(pi x)3pi - 2sin^5(pi x)5pi + sin^7(pi x)7pi + C

Exercícios relacionados