Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:
integral0^pi2 cos ^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi2cos^2theta,dtheta
usando técnicas de integrais trigonométricas. Vamos precisar da identidade de redução para potências de cosseno e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a identidade de redução
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Isso transforma a integral original em termos mais simples.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos
integral0^pi2cos^2theta,dtheta = integral0^pi21 + cos(2theta)2,dtheta = 12integral0^pi21,dtheta + 12integral0^pi2cos(2theta),dtheta

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente:
  • integral 1,dtheta = theta.
  • integral cos(2theta),dtheta = 12sin(2theta) (pois a derivada de sin(2theta) é 2cos(2theta)).
Logo,
12integral0^pi21,dtheta + 12integral0^pi2cos(2theta),dtheta = 12l[thetar]0^pi2 + 12l[tfrac12sin(2theta)r]0^pi2

Passo 5

Avaliamo os limites:
l[thetar]0^pi2 = pi2 - 0 = pi2, l[tfrac12sin(2theta)r]0^pi2 = 12l(sinpi - sin0r) = 12(0 - 0) = 0
Portanto,
integral0^pi2cos^2theta,dtheta = 12cdotpi2 + 12cdot 0 = pi4

Resposta

pi4

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