Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral x^4+x^2-1x^3+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralx^4+x^2-1x^3+x,dx usando frações parciais. Isso envolve conteúdo de integração de funções racionais, onde vamos usar divisão polinomial e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão de x^4+x^2-1 por x^3+x. Observamos que xcdot(x^3+x)=x^4+x^2, então o quociente é x e o resto é -1. Assim,
x^4+x^2-1x^3+x=x-1x^3+x

Passo 3

Em seguida, fatoramos o denominador do segundo termo: x^3+x=x(x^2+1). Para decompor 1x(x^2+1) em frações parciais, escrevemos:
1x(x^2+1)=Ax+Bx+Cx^2+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1) obtemos
1=A(x^2+1)+(Bx+C)x
Igualando coeficientes de potências de x em 1=(A+B)x^2+Cx+A, temos o sistema
A+B=0, C=0, A=1

Passo 5

Daí A=1, B=-1 e C=0. Logo
1x(x^2+1)=1x-xx^2+1

Passo 6

Substituindo na integral original, fica
integralx^4+x^2-1x^3+x,dx=integrall(x-1x+xx^2+1r)dx,
e integramos cada termo:
integral x,dx=x^22,integral1xdx=lnlvert xrvert,integralxx^2+1dx=12ln(x^2+1)

Passo 7

Somando, obtemos a forma final da antiderivada.

Resposta

x^22-lnlvert xrvert+12ln(x^2+1)+C

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