Calcule as integrais utilizando substituição trigonométrica:
integral x raiz4-9 x^2 d x
R:-(4-9 x^2)^3227+C

Passo 1

Resumo: o exercício pede para calcular a integral integral xraiz4-9x^2,dx. Trata-se de um caso de raiza^2-u^2, com a=2 e u=3x, então usaremos substituição trigonométrica.

Passo 2

Faço a substituição trigonométrica definindo x=tfrac23sintheta. Assim dx=tfrac23costheta,dtheta e
raiz4-9x^2=raiz4-4sin^2theta=2costheta
Substituindo na integral, obtemos
integral xraiz4-9x^2,dx =integral 23sinthetacdot2costhetacdot23costheta,dtheta =89integral sinthetacos^2theta,dtheta

Passo 3

Para calcular integral sinthetacos^2theta,dtheta, faço u=costheta, de modo que du=-sintheta,dtheta. Logo
integral sinthetacos^2theta,dtheta =-integral u^2,du =-u^33 =-cos^3theta3
Multiplicando pelo fator 8/9, a integral vira
-827cos^3theta

Passo 4

Volto à variável x sabendo que
costheta=raiz1-sin^2theta =raiz1-l(tfrac3x2r)^2 =raiztfrac4-9x^24 =raiz4-9x^22
Então
-827cos^3theta =-827l(raiz4-9x^22r)^3 =-(4-9x^2)^3/227
Adicionando a constante de integração, chegamos ao resultado final.

Resposta

-(4-9x^2)^3/227+C

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