Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:
integral cos ^2 x tg^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral cos^2 x ,tan^3 x ,dx
usando técnicas de integrais trigonométricas. Vamos precisar da identidade
tan^2 x = sec^2 x - 1
e das antiderivadas básicas de tan x e de sin xcos x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando tan^3 x = tan^2 xcdottan x e a identidade acima:
cos^2 x,tan^3 x = cos^2 x,tan^2 x;tan x = cos^2 x,(sec^2 x - 1),tan x
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integral cos^2 x,tan^3 x,dx = integral l(cos^2 x,sec^2 x,tan x ;-;cos^2 x,tan xr),dx

Passo 3

Agora simplificamos cada termo dentro da integral:
  • Como cos^2 x,sec^2 x = 1, o primeiro pedaço vira integral tan x,dx.
  • Como cos^2 x,tan x = cos^2 x,( sin x/cos x)=cos x,sin x, o segundo vira integral cos x,sin x,dx.
    Portanto
integral cos^2 x,tan^3 x,dx = integral tan x,dx ;-;integral cos x,sin x,dx
Para cada integral:
integral tan x,dx = -lnl|cos xr| e integral cos x,sin x,dx ;;=;; integral u,du = u^22 = sin^2 x2

Passo 4

Juntando os resultados acima, obtemos
integral cos^2 x,tan^3 x,dx = -lnl|cos xr| ;-;sin^2 x2 + C

Resposta

-lnl|cos xr| ;-;12,sin^2 x + C

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