Calcule as integrais utilizando integraçã por partes.
integral1^2 x^2 ln (x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral1^2 x^2 ln (x) , dx utilizando a técnica de integração por partes. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u e dv. A integração por partes utiliza a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhendo sabiamente u e dv facilita a resolução. Aqui, vamos definir:
u = ln(x) e dv = x^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos derivar u para encontrar du e integrar dv para encontrar v:
du = 1x , dx e v = integral x^2 , dx = x^33

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 ln(x) , dx = uv - integral v , du = ln(x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
integral x^33 cdot 1x , dx = 13 integral x^2 , dx = 13 cdot x^33 = x^39

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
integral x^2 ln(x) , dx = x^33 ln(x) - x^39 + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ x^33 ln(x) - x^39 ]1^2 = ( 83 ln(2) - 89 ) - ( 13 ln(1) - 19 )
Sabendo que ln(1) = 0, simplificamos:
83 ln(2) - 89 - ( 0 - 19 ) = 83 ln(2) - 79

Resposta

A integral definida é igual a 83 ln(2) - 79.

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