(D^4+8 D^2+16) y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
l(D^4+8D^2+16r)y=0
O conteúdo envolvido é o método do polinômio característico: assumimos y=e^rx e obtemos uma equação algébrica em r.

Passo 2

Para usar o método, substituímos y=e^rx e D^k y=r^k e^rx na equação, o que gera o polinômio característico
r^4 + 8r^2 + 16 = 0

Passo 3

Observamos que essa equação é quadrática em r^2. Fazendo u = r^2, obtemos
u^2 + 8u + 16 = 0
Aplicamos a fórmula de Bhaskara: o discriminante é
De<a = 8^2 - 4cdot1cdot16 = 64 - 64 = 0,
logo há raiz dupla
u = -82 = -4

Passo 4

Como u = r^2 = -4, segue
r^2 + 4 = 0 Longrightarrow r = pm 2i
E como o polinômio em u tinha raiz dupla, o fator (r^2+4) aparece com multiplicidade 2. Portanto pm2i são raízes cada uma de multiplicidade 2.

Passo 5

Para cada par de raízes complexas conjugadas a pm bi de multiplicidade m, a parte real da solução geral traz os termos
e^axl(C1cos(bx)+C2sin(bx)r), x,e^axl(C3cos(bx)+C4sin(bx)r)
quando m=2. Aqui a=0 e b=2, logo a solução geral é
y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + C3,xcos(2x) + C4,xsin(2x)

Resposta

y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)+C3,xcos(2x)+C4,xsin(2x),
com C1,C2,C3,C4 constantes arbitrárias.

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