Determine fx(x, y) e fy(x, y) das seguintes funções:
f(x, y)=x^2 e^2 y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais fx(x, y) e fy(x, y) da função f(x, y) = x^2 e^2 y .
Conteúdo da matéria: Derivadas parciais.
O que vamos precisar: Entender como calcular derivadas parciais em função de uma variável enquanto mantém a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) em relação a x , ou seja, fx(x, y) .
Conceito aplicado: A derivada parcial em relação a x significa que tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x .

Passo 3

Derivando f(x, y) = x^2 e^2 y em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x ( x^2 e^2 y )
Como e^2 y é constante em relação a x , podemos multiplicar pela derivada de x^2 :
fx(x, y) = e^2 y cdot ddx ( x^2 ) = e^2 y cdot 2x = 2x e^2 y

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) em relação a y , ou seja, fy(x, y) .
Conceito aplicado: A derivada parcial em relação a y significa que tratamos x como uma constante e derivamos em relação a y .

Passo 5

Derivando f(x, y) = x^2 e^2 y em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y ( x^2 e^2 y )
Aqui, x^2 é constante em relação a y , então multiplicamos por x^2 pela derivada de e^2 y :
fy(x, y) = x^2 cdot ddy ( e^2 y ) = x^2 cdot 2 e^2 y = 2 x^2 e^2 y

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = x^2 e^2 y são:
fx(x, y) = 2x e^2 y
fy(x, y) = 2 x^2 e^2 y

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