Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente usando técnicas de substituição para resolver integrais mais complexas. Vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada para simplificar essa expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da raiz:
. Isso sugere que uma substituição trigonométrica pode ser útil. Vamos tentar usar a substituição
. Por que escolhemos isso? Porque ao substituir
assim, a expressão dentro da raiz se torna uma identidade trigonométrica mais simples.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos também mudar
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Agora, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral, ficamos com:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 5
Simplificando o denominador dentro da raiz:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, substituindo de volta na integral:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Sabemos que
, então
. Substituindo isso na integral:
E como
, simplificamos ainda mais:
Passo 8
Agora, fazemos uma nova substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
, então
. Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
Substituindo na expressão:
Passo 10
Finalmente, avaliamos a antiderivada entre os limites de
e
:
Simplificando os termos:
Resposta
A integral vale
.