Calcule a integral
integral1^raiz3 1x^2 raizx^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida integral1^raiz3 1x^2 raizx^2+4 , dx. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente usando técnicas de substituição para resolver integrais mais complexas. Vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada para simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da raiz: x^2 + 4. Isso sugere que uma substituição trigonométrica pode ser útil. Vamos tentar usar a substituição x = 2 tantheta. Por que escolhemos isso? Porque ao substituir x assim, a expressão dentro da raiz se torna uma identidade trigonométrica mais simples.

Passo 3

Com a substituição x = 2 tantheta, precisamos também mudar dx. Derivando ambos os lados em relação a theta, temos:
dx = 2 sec^2theta , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:
integral 1(2 tantheta)^2 raiz(2 tantheta)^2 + 4 cdot 2 sec^2theta , dtheta
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 5

Simplificando o denominador dentro da raiz:
(2 tantheta)^2 + 4 = 4 tan^2theta + 4 = 4(tan^2theta + 1) = 4 sec^2theta
Portanto, raiz4 sec^2theta = 2 sectheta.

Passo 6

Agora, substituindo de volta na integral:
integral 14 tan^2theta cdot 2 sectheta cdot 2 sec^2theta , dtheta = integral 18 tan^2theta sectheta cdot 2 sec^2theta , dtheta
Simplificando os coeficientes:
integral 2 sec^2theta8 tan^2theta sectheta , dtheta = integral sectheta4 tan^2theta , dtheta

Passo 7

Sabemos que tantheta = sinthetacostheta, então tan^2theta = sin^2thetacos^2theta. Substituindo isso na integral:
integral sectheta4 cdot sin^2thetacos^2theta , dtheta = integral sectheta cos^2theta4 sin^2theta , dtheta
E como sectheta = 1costheta, simplificamos ainda mais:
integral costheta4 sin^2theta , dtheta = 14 integral costhetasin^2theta , dtheta

Passo 8

Agora, fazemos uma nova substituição para facilitar a integração. Vamos deixar u = sintheta, então du = costheta , dtheta. Substituindo na integral:
14 integral 1u^2 , du = 14 ( -1u ) + C = -14u + C
Voltando para theta:
- 14 sintheta + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos x = 2 tantheta, então:
tantheta = x2 implies sintheta = xraizx^2 + 4
Substituindo na expressão:
- 14 cdot xraizx^2 + 4 = - raizx^2 + 44x

Passo 10

Finalmente, avaliamos a antiderivada entre os limites de 1 e raiz3:
[ - raizx^2 + 44x ]1^raiz3 = - raiz (raiz3)^2 + 44 raiz3 + raiz1^2 + 44 cdot 1
Simplificando os termos:
- raiz3 + 44 raiz3 + raiz1 + 44 = - raiz74 raiz3 + raiz54

Resposta

A integral vale - raiz74 raiz3 + raiz54.

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