Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
integral0^infty cos pi w2 cos x omega1-omega^2 d omega=clpi2 cos x & se |x|pi2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria integral0^inftycospi w2,cos(xw)1-w^2,dwvale tfracpi2cos x quando |x| e vale 0 quando |x|>tfracpi2. O conteúdo principal é a transformada de Fourier e sua inversão para funções pares, além de calcular explicitamente a transformada de uma função truncada.

Passo 2

Definimos a função g(x)=cos x,&|x|tfracpi2Como g é par, sua transformada de Fourier é G(w)=integral-infty^inftyg(x)e^-iwx,dx=2integral0^pi/2cos xcos(w x),dxe a inversão para função par é g(x)=1piintegral0^inftyG(w)cos(wx),dw

Passo 3

Calcular G(w): usamos a identidade cos xcos(wx)=tfrac12[cos((w+1)x)+cos((w-1)x)] e integramos de 0 a pi/2. Obtemos G(w)=2integral0^pi/2cos xcos(w x),dx=sin(w+1)pi2!/!(w+1)+sin(w-1)pi2!/!(w-1) Como sin(tfrac(w+1)pi2)=cos(tfracpi w2) e sin(tfrac(w-1)pi2)=-cos(tfracpi w2), chega-se a G(w)=2,cos(pi w2)1-w^2

Passo 4

Substituímos na inversão de Fourier:
g(x)=1piintegral0^inftyG(w)cos(wx),dw=2piintegral0^inftycos(pi w2)cos(wx)1-w^2,dwReconhecendo a integral dada, concluímos que integral0^inftycospi w2cos(xw)1-w^2,dw=tfracpi2cos x,&|x|tfracpi2

Resposta

pi2cos x se |x|, e 0 se |x|>tfracpi2.

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