Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
vale
quando
e vale 0 quando
. O conteúdo principal é a transformada de Fourier e sua inversão para funções pares, além de calcular explicitamente a transformada de uma função truncada.
Passo 2
Definimos a função
Como
é par, sua transformada de Fourier é
e a inversão para função par é
Passo 3
Calcular
: usamos a identidade
e integramos de 0 a
. Obtemos
Como
e
, chega-se a
Passo 4
Substituímos na inversão de Fourier: