Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 5 x \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 5 x \cos\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • Limites de integração: x=0 até x=\sqrt{\pi}.
  • Integrando: 5 x \cos\left(x^{2}\right).
  • Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Ideia de transformação (passo a passo didático): observar que dentro do cosseno aparece a função x^{2} e junto vem um fator x\,dx. Isso sugere fazer uma mudança de variável que torne x^{2} a nova variável, porque a derivada de x^{2} é 2x, e assim aparece um múltiplo de x\,dx.
Faço a substituição:
u = x^{2}.
Agora derivo ambos os lados em relação a x para relacionar os diferenciais:
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx obtenho
x\,dx = \dfrac{du}{2}.
Transformo também os limites de integração usando u=x^{2}:
  • Quando x=0, então u=0^{2}=0.
  • Quando x=\sqrt{\pi}, então u=(\sqrt{\pi})^{2}=\pi.
Substituindo tudo na integral original:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 5 x \cos\left(x^{2}\right)\,dx = \int_{u=0}^{u=\pi} 5 \cos(u)\cdot \dfrac{du}{2}.
Fatorando constantes:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 5 x \cos\left(x^{2}\right)\,dx = \dfrac{5}{2}\int_{0}^{\pi} \cos(u)\,du.

Passo 3

Agora calculo a integral em u. A primitiva (antiderivada) de \cos(u) é \sin(u), porque a derivada de \sin(u) \cos(u). Assim:
\int_{0}^{\pi} \cos(u)\,du = \left[\sin(u)\right]_{0}^{\pi} = \sin(\pi)-\sin(0).
Sabendo que \sin(\pi)=0 e \sin(0)=0, obtemos
\int_{0}^{\pi} \cos(u)\,du = 0-0 = 0.
Multiplicando pela constante \dfrac{5}{2}:
\dfrac{5}{2}\int_{0}^{\pi} \cos(u)\,du = \dfrac{5}{2}\cdot 0 = 0.

Passo 4

Interpretação curta e dica para a prova: a integral dá zero porque a função \cos(u) integra para \sin(u) e \sin vale zero nos extremos 0 e \pi. Outra forma rápida de ver isso é notar que a derivada de \sin\left(x^{2}\right) é 2x\cos\left(x^{2}\right), então 5x\cos\left(x^{2}\right) = \dfrac{5}{2}\cdot\big(2x\cos(x^{2})\big) é a derivada de \dfrac{5}{2}\sin\left(x^{2}\right); avaliando a primitiva entre 0 e \sqrt{\pi} também dá zero. Exemplo extra rápido para fixar: \int 2x e^{x^{2}}\,dx = e^{x^{2}}+C usando u=x^{2}.

Resposta

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