Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- Limites de integração:
até . - Integrando:
. - Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Ideia de transformação (passo a passo didático): observar que dentro do cosseno aparece a função
e junto vem um fator
. Isso sugere fazer uma mudança de variável que torne
a nova variável, porque a derivada de
é
, e assim aparece um múltiplo de
.
Faço a substituição:
Agora derivo ambos os lados em relação a
para relacionar os diferenciais:
Isolando
obtenho
Transformo também os limites de integração usando
:
- Quando
, então . - Quando
, então .
Substituindo tudo na integral original:
Fatorando constantes:
Passo 3
Agora calculo a integral em
. A primitiva (antiderivada) de
é
, porque a derivada de
dá
. Assim:
Sabendo que
e
, obtemos
Multiplicando pela constante
:
Passo 4
Interpretação curta e dica para a prova: a integral dá zero porque a função
integra para
e
vale zero nos extremos
e
. Outra forma rápida de ver isso é notar que a derivada de
é
, então
é a derivada de
; avaliando a primitiva entre
e
também dá zero. Exemplo extra rápido para fixar:
usando
.