Calcule as integrais utilizando integrais por partes:
integral x^n cdot ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^nln x ,dx
usando o método de integração por partes. O conteúdo envolvido é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
onde precisamos escolher funções u e dv adequadamente.

Passo 2

Escolhemos
u = ln x, dv = x^n,dx
Então calculamos
du = 1x,dx, v = integral x^n,dx = x^n+1n+1(supondo nneq -1)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^nln x ,dx = u,v - integral v,du = x^n+1n+1ln x ;-;integral x^n+1n+1,1x,dx

Passo 4

Dentro da integral restante simplificamos:
x^n+1n+1,1x = x^nn+1,
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integral x^nln x ,dx = x^n+1n+1ln x - 1n+1integral x^n,dx

Passo 5

Agora integraremos x^n:
integral x^n,dx = x^n+1n+1
Substituindo, obtemos
integral x^nln x ,dx = x^n+1n+1ln x - 1n+1cdot x^n+1n+1 + C

Resposta

integral x^nln x ,dx = x^n+1n+1,ln x - x^n+1(n+1)^2 + C

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