Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resulto da Questão anterior.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da sequência
quando
tende ao infinito. Vamos usar conceitos de limites de funções, especialmente envolvendo funções trigonométricas e propriedades de limites. Precisamos entender como o comportamento da função cosseno e do termo
influenciam o limite da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função cosseno. Sabemos que
sempre gera valores entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, para qualquer
, o valor de
nunca vai ultrapassar esses limites.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador, que é
. Quando
cresce sem limite (tende ao infinito), o valor de
fica cada vez menor, aproximando-se de 0. Em termos matemáticos:
Passo 4
Juntando as duas observações, temos que
está sempre entre
e
:
Como vimos que
, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze), podemos concluir que:
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.