Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resulto da Questão anterior.)
an=cos (n)n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da sequência an = cos(n)n quando n tende ao infinito. Vamos usar conceitos de limites de funções, especialmente envolvendo funções trigonométricas e propriedades de limites. Precisamos entender como o comportamento da função cosseno e do termo 1n influenciam o limite da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função cosseno. Sabemos que cos(n) sempre gera valores entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= cos(n) <= 1
Isso significa que, para qualquer n , o valor de cos(n) nunca vai ultrapassar esses limites.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, que é n . Quando n cresce sem limite (tende ao infinito), o valor de 1n fica cada vez menor, aproximando-se de 0. Em termos matemáticos:
limn to infty 1n = 0

Passo 4

Juntando as duas observações, temos que cos(n)n está sempre entre -1n e 1n :
-1n <= cos(n)n <= 1n
Como vimos que limn to infty 1n = 0 , pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze), podemos concluir que:
limn to infty cos(n)n = 0

Resposta

O limite da sequência an = cos(n)n quando n tende ao infinito é 0.

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