Classifique os pontos críticos da função f(x, y)=2 x^3+6 x y+3 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=2x^3+6xy+3y^2
O conteúdo da matéria envolve derivadas parciais para achar o gradiente, resolver nabla f=0 e usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Calcule as derivadas parciais e resolva o sistema nabla f=0.
partial fpartial x=6x^2+6y,
partial fpartial y=6x+6y
Igualando a zero:
6x^2+6y=0 Longrightarrow y=-x^2,
6x+6y=0 Longrightarrow y=-x
Igualando as expressões para y obtém-se
-x^2=-x Longrightarrow x(x-1)=0
logo os pontos críticos são
(x,y)=(0,0) e (x,y)=(1,-1)

Passo 3

Forme a matriz Hessiana H a partir das segundas derivadas:
partial^2fpartial x^2=12x, partial^2fpartial xpartial y=6, partial^2fpartial y^2=6
Logo
H(x,y)= 12x & 6 6 & 6

Passo 4

Para classificar, calcule o determinante D=det H e verifique o sinal de partial^2fpartial x^2 em cada ponto:
Em (0,0):
D(0,0)=12cdot0cdot6-6^2=-36<0,
como D<0, (0,0) é ponto de sela.
Em (1,-1):
D(1,-1)=12cdot1cdot6-6^2=72-36=36>0 e partial^2fpartial x^2g|(1,-1)=12>0,
logo é mínimo local.

Resposta

O ponto (0,0) é ponto de sela e o ponto (1,-1) é mínimo local.

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