Qual é o ponto crítico de f(x, y)=18 x+1y+x y que está localizado na região x>0 e y>0.

Passo 1

O enunciado pede o ponto crítico de
f(x,y)=18x+1y+xy
no domínio x>0,;y>0.
Conteúdo: cálculo de pontos críticos de funções de duas variáveis.
O que precisamos: calcular as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y, igualá-las a zero e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x =-18x^2+y, partial fpartial y =-1y^2+x
Para ponto crítico interior, usamos
-18x^2+y=0, -1y^2+x=0

Passo 3

Do primeiro:
y=18x^2
Do segundo:
x=1y^2
Substituindo x=1y^2 em y=18x^2
y=18l(1y^2r)^2 =18,y^4 ;Longrightarrow; 8y=y^4 ;Longrightarrow; y(y^3-8)=0
No domínio y>0 fica y^3=8 e portanto y=2.
Então x=1y^2=14.

Resposta

O único ponto crítico em x>0,;y>0 é
l(x,yr)=l(tfrac14,,2r)

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