Um tanque, com água, tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baixo. O raio da base do cone é igual a 9 metros e sua altura é de 27 metros. Se a profundidade da camada de água tende a metade da altura do tanque, o volume de água no tanque aproxima-se de algum valor valor? Qual valor? Exprima isto, matematicamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tanque em forma de cone com o vértice para baixo. A base do cone tem raio de 9 metros e a altura total do cone é de 27 metros. A gente quer descobrir qual é o volume de água quando a profundidade da água chega a metade da altura do tanque. Estamos falando de geometria, especificamente de cálculo de volume de cones e proporções entre elementos de figuras semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a água no tanque também forma um cone, menor, que está dentro do grande cone do tanque. A profundidade da água é a altura desse cone menor, que é metade da altura do tanque. Então, a altura da água h é:
h = 272 = 13,5 metros
Como os dois cones são semelhantes (mantêm a mesma forma, apenas dimensionados), a proporção entre os raios é igual à proporção entre as alturas. Ou seja:
rR = hH
Onde:
  • r é o raio da base da água,
  • R = 9 metros é o raio da base do tanque,
  • h = 13,5 metros é a altura da água,
  • H = 27 metros é a altura do tanque.
Vamos encontrar r :
r = R times hH = 9 times 13,527 = 9 times 0,5 = 4,5 metros

Passo 3

Agora que temos a altura e o raio da água, podemos calcular o volume da água usando a fórmula do volume de um cone:
V = 13 pi r^2 h
Substituindo os valores que encontramos:
V = 13 pi (4,5)^2 times 13,5
Primeiro, calculamos (4,5)^2 :
(4,5)^2 = 20,25
Agora, multiplicamos por 13{,}5:
20,25 times 13,5 = 273,375
Então, o volume fica:
V = 13 pi times 273,375 = 91,125 pi
Aproximando pi por 3{,}1416:
V approx 91,125 times 3,1416 approx 286,2 metros cúbicos ú

Resposta

O volume de água no tanque, quando a profundidade tende à metade da altura do tanque, é aproximadamente 286,2 metros cúbicos.

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