Um tanque, com água, tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baixo. O raio da base do cone é igual a 9 metros e sua altura é de 27 metros. Se a profundidade da camada de água tende a metade da altura do tanque, o volume de água no tanque aproxima-se de algum valor valor? Qual valor? Exprima isto, matematicamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque em forma de cone com o vértice para baixo. A base do cone tem raio de 9 metros e a altura total do cone é de 27 metros. A gente quer descobrir qual é o volume de água quando a profundidade da água chega a metade da altura do tanque. Estamos falando de geometria, especificamente de cálculo de volume de cones e proporções entre elementos de figuras semelhantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a água no tanque também forma um cone, menor, que está dentro do grande cone do tanque. A profundidade da água é a altura desse cone menor, que é metade da altura do tanque. Então, a altura da água
é:
Como os dois cones são semelhantes (mantêm a mesma forma, apenas dimensionados), a proporção entre os raios é igual à proporção entre as alturas. Ou seja:
Onde:
-
é o raio da base da água, -
metros é o raio da base do tanque, -
metros é a altura da água, -
metros é a altura do tanque.
Vamos encontrar
:
Passo 3
Agora que temos a altura e o raio da água, podemos calcular o volume da água usando a fórmula do volume de um cone:
Substituindo os valores que encontramos:
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos por 13{,}5:
Então, o volume fica:
Aproximando
por 3{,}1416:
Resposta
O volume de água no tanque, quando a profundidade tende à metade da altura do tanque, é aproximadamente
metros cúbicos.