Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:
integral sec ^2 x tg x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sec^2x ,tan x ,dx
O conteúdo envolvido é integração por substituição em integrais trigonométricas. Vamos usar que a derivada de tan x é sec^2x.

Passo 2

Definimos a substituição
u = tan x
Então, derivando ambos os lados,
du = sec^2x ,dx
Note que o diferencial du aparece exatamente em sec^2x,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
integral sec^2x ,tan x ,dx = integral u ,du,
pois tan x = u e sec^2x,dx = du.

Passo 4

Agora integramos em u:
integral u ,du = u^22 + C
Finalmente, voltamos à variável x usando u=tan x:
u^22 + C = tan^2x2 + C

Resposta

integral sec^2x ,tan x ,dx = tan^2x2 + C

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