Calcule as integrais, utilizando o método de substituição trigonométrica.
integral raiz5+4 x-x^2 d x
Resposta: f(x)=92 sin ^-1(x-23)+12(x-2) raiz5+4 x-x^2+C

Passo 1

O enunciado pede pra calcular integral raiz5+4x - x^2,dx usando substituição trigonométrica. Vamos precisar reconhecer que 5+4x - x^2 pode ser escrito como 9 - (x-2)^2, o que nos leva a uma substituição do tipo x-2=3sintheta.

Passo 2

Primeiro, completar o quadrado em 5+4x - x^2. A gente reescreve:
5+4x - x^2 = -(x^2-4x-5) = 9 - (x-2)^2

Passo 3

Isso mostra que raiz5+4x - x^2 = raiz9 - (x-2)^2, padrão de circunferência.
Fazemos então a substituição trigonométrica
x-2 = 3sintheta, dx = 3costheta,dtheta

Passo 4

E observamos também que
raiz9 - (x-2)^2 = 3costheta

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral raiz5+4x - x^2,dx = integral (3costheta)(3costheta,dtheta) = 9integral cos^2theta,dtheta

Passo 6

Usamos a identidade cos^2theta = tfrac1+cos2theta2 para integrar:
9integral cos^2theta,dtheta = 9integral 1+cos2theta2,dtheta = 92l(theta + 12sin2thetar)+C

Passo 7

Como sin2theta = 2sinthetacostheta, temos
92theta + 94sin2theta +C = 92theta + 92(sinthetacostheta)+C

Passo 8

Volta para x:
sintheta = x-23, costheta = raiz5+4x - x^23, theta = sin^-1l(x-23r)

Passo 9

Então
92theta = 92sin^-1l(x-23r), 92sinthetacostheta = 12(x-2)raiz5+4x - x^2

Resposta

f(x)=92sin^-1l(x-23r)+12(x-2)raiz5+4x - x^2+C

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