Calcule as integrais utilizando substituição de variáveis:
integral 1+4 xraiz1+x+2 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1+4xraiz1+x+2x^2,dx
usando substituição de variáveis. Vamos buscar uma substituição que simplifique a raiz.

Passo 2

Note que o denominador é raiz1+x+2x^2 e que a derivada de 1+x+2x^2 é exatamente 1+4x, que aparece no numerador. Por isso, definimos
u = 1 + x + 2x^2

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = (1 + 4x),dx
ou seja,
(1+4x),dx = du

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral 1+4xraiz1+x+2x^2,dx = integral duraizu = integral u^-tfrac12,du

Passo 5

Agora é só integrar potência:
integral u^-tfrac12,du = 2,u^tfrac12 + C
Voltando à variável x, temos
2raizu + C = 2raiz1 + x + 2x^2 + C

Resposta

2raiz1 + x + 2x^2 + C

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