Calcule as integrais utilizando substituição de variáveis:
integral x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xl(x^2+1r)^2,dx
usando substituição de variáveis. O que precisamos é reconhecer uma parte cuja derivada aparece no numerador e fazer u = x^2+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2+1
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, note que (x^2+1)^2 = u^2 e x,dx = 12,du. Logo,
integral xl(x^2+1r)^2,dx = integral 1u^2 cdot 12,du = 12integral u^-2,du

Passo 4

Agora integramos em u:
12integral u^-2,du = 12cdot u^-1-1 = -12,u^-1 = -12u

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u = x^2+1, então
-12u = -12l(x^2+1r)

Resposta

-12l(x^2+1r) + C

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