Calcule as integrais utilizando substituição de variáveis:
integral xx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral xx^2+1,dx
usando o método de substituição de variáveis. Vamos identificar uma expressão cujo diferencial aparece no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2 + 1
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral xx^2+1,dx = integral 1u;l(tfrac12,dur) = 12integral duu

Passo 4

A integral de 1/u é o logaritmo natural de u, logo
12integral duu = 12lnlvert urvert + C

Passo 5

Voltando à variável original x, onde u = x^2+1>0, temos
12lnlvert urvert + C = 12lnl(x^2+1r) + C

Resposta

integral xx^2+1,dx = 12lnl(x^2+1r) + C

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