Calcule as integrais utilizando substituição de variáveis:
integral 3(2 y+1)^5 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3(2y+1)^5,dy
e indica usar substituição de variáveis. Aqui o conteúdo é integração de potências de uma expressão linear, resolvida com a troca u=2y+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2y + 1
para simplificar o denominador. Derivando,
du = 2,dy Longrightarrow dy = du2
Substituindo na integral original, temos
integral 3(2y+1)^5,dy = integral 3u^5cdotdu2 = 32integral u^-5,du

Passo 3

Agora integramos a potência de u. Lembrando que
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C
para nneq -1, aplicamos com n=-5:
32integral u^-5,du = 32cdotu^-4-4 + C = -38,u^-4 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável y usando u=2y+1:
-38,u^-4 + C = -38,(2y+1)^-4 + C

Resposta

integral 3(2y+1)^5,dy = -38,(2y+1)^4 + C

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