Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
integral0^2 raiz3 x^3raiz16-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^2raiz3x^3raiz16 - x^2,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é integração por substituição do tipo x = asintheta, que serve para radicais da forma raiza^2-x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 4sintheta, dx = 4costheta,dtheta,
onde theta varia de 0 (quando x=0) até pi/3 (quando x=2raiz3, pois sintheta = tfrac2raiz34 = tfracraiz32). Também
raiz16 - x^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta

Passo 3

Substituindo na integral:
integral0^2raiz3x^3raiz16 - x^2,dx = integral0^pi/3(4sintheta)^34costhetacdot(4costheta),dtheta = integral0^pi/364sin^3theta,dtheta

Passo 4

Para integrar sin^3theta escrevemos
sin^3theta = sintheta,(1 - cos^2theta),
e com u = costheta, du = -sintheta,dtheta obtemos
integralsin^3theta,dtheta = integralsintheta,dtheta - integralsintheta,cos^2theta,dtheta = -u + u^33 + C = -costheta + cos^3theta3 + C
Logo,
64integral0^pi/3sin^3theta,dtheta = 64l[-costheta + tfraccos^3theta3r]0^pi/3

Passo 5

Calculando nos limites:
l[-costheta + tfraccos^3theta3r]0^pi/3 = l(-tfrac12 + tfrac(1/2)^33r) - l(-1 + tfrac1^33r) = l(-tfrac12 + tfrac124r) - l(-tfrac23r) = l(-tfrac1224 + tfrac124r) + tfrac1624 = tfrac524
Multiplicando por 64 vem
64 cdot tfrac524 = tfrac6424cdot5 = tfrac83cdot5 = tfrac403

Resposta

boxed403

Exercícios relacionados