Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
integral 1x^2 raiz25-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1x^2,raiz25 - x^2,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar x = 5sintheta, que é o caminho clássico para integrais envolvendo raiza^2-x^2.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 5sintheta, dx = 5costheta,dtheta, raiz25 - x^2 = raiz25 - 25sin^2theta = 5costheta,
e também
x^2 = 25sin^2theta

Passo 3

Substituindo na integral original,
integral 1x^2,raiz25 - x^2,dx = integral 1(25sin^2theta),(5costheta) ;(5costheta,dtheta) ;=; integral 125sin^2theta,dtheta ;=; 125integral csc^2theta,dtheta

Passo 4

Sabendo que ddtheta(cottheta) = -csc^2theta, temos
125integral csc^2theta,dtheta = -125,cottheta + C

Passo 5

Volta à variável x. Da substituição x = 5sintheta obtemos
sintheta = x5, costheta = raiz25 - x^25,
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cottheta = costhetasintheta = raiz25 - x^2/5x/5 = raiz25 - x^2x
Substituindo em -tfrac125cottheta,
-125,cottheta = -125,raiz25 - x^2x = -raiz25 - x^225,x + C

Resposta

-raiz25 - x^225,x + C

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