A integral de linha integralC y^2 d x+4 x y d y, onde C eh o segmento de reta de (2,4) ateh (0,0), eh aproximadamente igual a:
-53,3
53,3
50
56
-56

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC y^2,dx ;+;4,x,y,dy
ao longo de C, segmento de reta que vai de (2,4) até (0,0). Vamos parametrizar C e usar a definição de integral de linha para campos de força em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Parametrizamos C por tin[0,1] de modo que em t=0 estejamos em (2,4) e em t=1 em (0,0). Uma escolha simples é
x(t)=2,(1-t), y(t)=4,(1-t)
Dessa forma
dx = x'(t),dt = -2,dt, dy = y'(t),dt = -4,dt

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica
y^2,dx + 4xy,dy = l[,l(4(1-t)r)^2r]l(-2,dtr) ;+; 4l[2(1-t)r]l[4(1-t)r]l(-4,dtr)
Calculando cada termo:
l(4(1-t)r)^2(-2) = -32,(1-t)^2, 4cdot2(1-t)cdot4(1-t)cdot(-4) = -128,(1-t)^2
Somando,
y^2,dx + 4xy,dy = -160,(1-t)^2,dt

Passo 4

Agora integramos de t=0 a 1:
integralCy^2,dx+4xy,dy = integral0^1l[-160,(1-t)^2r],dt = -160integral0^1(1-t)^2,dt
Fazendo a mudança u=1-t ou usando diretamente a primitiva,
integral0^1(1-t)^2,dt = 13,
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integralCy^2,dx+4xy,dy = -160cdot13 = -1603approx -53,3

Resposta

-53,3

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