Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
integralraiz2^2 1t^3 raizt^2-1 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralraiz2^2 1t^3raizt^2-1,dt
usando substituições trigonométricas. O conteúdo aqui é escolher uma substituição que simplify a raiz raizt^2-1 e reescrever toda a integral em função de um ângulo theta.

Passo 2

Como t>=1, usamos a substituição
t = sectheta,
pois então
raizt^2-1 = raizsec^2theta - 1 = tantheta e dt = sectheta,tantheta,dtheta
Os limites mudam conforme
t=raiz2implies sectheta=raiz2implies theta=pi4, t=2implies sectheta=2implies theta=pi3

Passo 3

Substituindo na integral original, o integrando fica
1t^3raizt^2-1,dt = 1sec^3theta;tantheta,l(sectheta,tantheta,dthetar) = 1sec^2theta,dtheta = cos^2theta,dtheta
Portanto a integral transforma-se em
integraltheta=pi/4^pi/3cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade de redução
cos^2theta = 1+cos(2theta)2,
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integralcos^2theta,dtheta = 12integrall(1+cos(2theta)r)dtheta = 12l[theta + 12sin(2theta)r]+C

Passo 5

Aplicando os limites de pi/4 a pi/3, temos
integralpi/4^pi/3cos^2theta,dtheta = 12l[l(tfracpi3+tfrac12sin(2cdottfracpi3)r) -l(tfracpi4+tfrac12sin(2cdottfracpi4)r)r]
Como sin(2pi/3)=tfracraiz32 e sin(pi/2)=1, isso dá
12l[pi3+raiz34-pi4-12r] = 12l[pi12+raiz34-12r] = pi24+raiz38-14

Resposta

boxedpi24+raiz38-14

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