Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
integral raiz1-4 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raiz1 - 4x^2 , dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição típica para expressões da forma raiza^2-u^2:
x = tfrac12,sintheta,
de modo que 1-4x^2 vire um cosseno ao quadrado.

Passo 2

Com x = tfrac12sintheta temos
dx = tfrac12costheta , dtheta
e
raiz1 - 4x^2 = raiz1 - 4l(tfrac12sinthetar)^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta
(considerando costheta>=0 no intervalo adequado). Logo a integral torna-se
integral raiz1 - 4x^2 , dx = integral l(costhetar),l(tfrac12costheta,dthetar) = tfrac12integral cos^2theta , dtheta

Passo 3

Para integrar cos^2theta usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2theta = tfrac1 + cos(2theta)2
Assim
tfrac12integral cos^2theta , dtheta = tfrac12integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = tfrac14integral l(1 + cos(2theta)r) dtheta
Integramos termo a termo:
tfrac14integral 1,dtheta = tfractheta4, tfrac14integral cos(2theta),dtheta = tfrac14cdot sin(2theta)2 = tfracsin(2theta)8
Portanto
tfrac12integral cos^2theta , dtheta = theta4 + sin(2theta)8 + C

Passo 4

Agora voltamos a x. Temos
theta = arcsin(2x), sintheta = 2x, costheta = raiz1-4x^2
E sin(2theta)=2sinthetacostheta = 2,(2x),raiz1-4x^2 = 4xraiz1-4x^2. Substituindo:
theta4 + sin(2theta)8 = 14,arcsin(2x) + 18l(4xraiz1-4x^2r) = 14,arcsin(2x) + x2,raiz1-4x^2 + C

Resposta

integral raiz1 - 4x^2 , dx = 14,arcsinl(2xr) + x2,raiz1-4x^2 + C

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