Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
integral x raizx^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral xraizx^2+4,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é a técnica de substituir x por atantheta quando aparece raizx^2+a^2. No nosso caso, a=2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2tantheta, dx = 2sec^2theta,dtheta, raizx^2+4 = raiz4tan^2theta + 4 = 2sectheta
Então o integrando fica
xraizx^2+4,dx = (2tantheta),(2sectheta),(2sec^2theta,dtheta) =8,tantheta,sec^3theta,dtheta

Passo 3

Agora precisamos calcular
8integral tantheta,sec^3theta,dtheta
Observe que ddtheta(sectheta)=secthetatantheta. Fazemos
u = sectheta, du = secthetatantheta,dtheta
Reescrevendo tantheta,sec^3theta = sec^2thetacdot(secthetatantheta), fica
8integral tantheta,sec^3theta,dtheta =8integral sec^2theta,du =8integral u^2,du =8cdotu^33 =83,u^3

Passo 4

Voltando à variável x, temos u=sectheta=raizx^2+42. Logo
83,u^3 =83,gl(raizx^2+42gr)^3 =83,(x^2+4)^3/28 =13(x^2+4)^3/2
Não esqueça da constante de integração.

Resposta

boxedintegral xraizx^2+4,dx =13(x^2+4)^3/2+C

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