Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
integral raizx^2-9x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral raizx^2-9x^3,dx
utilizando substituições trigonométricas. O conteúdo envolve reconhecimento de raiz do tipo raizx^2-a^2 e uso da substituição x=asectheta.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = 3sectheta, dx = 3secthetatantheta,dtheta,
e observamos
raizx^2-9 = raiz9sec^2theta - 9 = 3tantheta
Substituindo em I:
I = integral 3tantheta(3sectheta)^3;l(3secthetatantheta,dthetar)

Passo 3

Simplificamos a expressão em theta:
3tantheta27sec^3thetacdot 3secthetatantheta = 9secthetatan^2theta27sec^3theta = 13,tan^2thetasec^2theta = 13sin^2theta
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I = 13integral sin^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade sin^2theta = tfrac1-cos(2theta)2:
I = 13integral 1-cos(2theta)2,dtheta = 16integral (1-cos2theta),dtheta = 16l(theta - tfrac12sin2thetar) + C

Passo 5

Voltando para x:
theta = arctan!l(raizx^2-93r), sin2theta = 2sinthetacostheta = 2raizx^2-9x,3x = 6raizx^2-9x^2
Substituindo:
I = 16arctan!l(raizx^2-93r) - 112cdot6raizx^2-9x^2 + C = 16arctan!l(raizx^2-93r) - raizx^2-92x^2 + C

Resposta

boxed,integral raizx^2-9x^3,dx = 16arctan!l(raizx^2-93r) - raizx^2-92x^2 + C,

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