Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
integral 1u raiz5-u^2 d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1u raiz5 - u^2,du.
Como aparece raiz5 - u^2, é natural usar substituição trigonométrica do tipo u = asintheta, para transformar a raiz em algo do tipo acostheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raiz5,sintheta
Então
du = raiz5,costheta,dtheta, raiz5 - u^2 = raiz5 - 5sin^2theta = raiz5,costheta

Passo 3

Na integral original, substituindo:
1uraiz5 - u^2,du = 1(raiz5sintheta),(raiz5costheta) ;l(raiz5costheta,dthetar) = 1raiz5,sintheta,dtheta = 1raiz5csctheta,dtheta
Logo a integral vira
integral 1uraiz5 - u^2,du = 1raiz5integral csctheta,dtheta

Passo 4

Sabemos que
integral csctheta,dtheta = -lnl|csctheta + cotthetar| + C
Portanto
1raiz5integral csctheta,dtheta = -1raiz5lnl|csctheta + cotthetar| + C

Passo 5

Volta à variável u. Como
csctheta = 1sintheta = raiz5u, cottheta = costhetasintheta = raiz5 - u^2u,
temos
csctheta + cottheta = raiz5 + raiz5 - u^2u
Logo a antiderivada é
-1raiz5 ln!l|raiz5 + raiz5 - u^2ur| + C
ou, equivalently,
1raiz5 ln!l|uraiz5 + raiz5 - u^2r| + C

Resposta

boxed integral 1u raiz5 - u^2,du = -1raiz5 ln!l|raiz5 + raiz5 - u^2ur| + C

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