Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
integralraiz2 / 3^2 / 3 1x^5 raiz9 x^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral,raiz2/3^,2/31x^5,raiz9x^2-1;dx
usando substituição trigonométrica. Aqui vamos usar a substituição
x = 13sectheta,
pois isso simplifica a raiz raiz9x^2-1.

Passo 2

Fazendo x=tfrac13sectheta temos
3x=sectheta, raiz9x^2-1=raizsec^2theta-1=tantheta,
dx = 13secthetatantheta,dtheta
Os limites em theta saem de
x=raiz23impliessectheta=raiz2impliestheta=pi4,
x=23impliessectheta=2impliestheta=pi3

Passo 3

Substituindo tudo na integral:
integralpi/4^,pi/3 1l(tfracsectheta3r)^5,tantheta cdotsecthetatantheta3,dtheta = integralpi/4^,pi/381cos^4theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de redução de potência
cos^4theta = 3+4cos(2theta)+cos(4theta)8,
logo
integral 81cos^4theta,dtheta = 818integrall(3+4cos2theta+cos4thetar),dtheta = 818l(3theta+2sin2theta+tfrac14sin4thetar)

Passo 5

Avaliaremos de theta=pi/4 até theta=pi/3. Seja
F(theta)=3theta+2sin2theta+14sin4theta
Então
Fl(tfracpi3r) =pi + raiz3 - raiz38 =pi + 7raiz38, Fl(tfracpi4r) =3pi4+2
Subtraindo,
Fl(tfracpi3r)-Fl(tfracpi4r) =pi4+7raiz38-2
Multiplicando pelo fator tfrac818, obtemos
integralraiz2/3^2/3dxx^5raiz9x^2-1 = 818l(pi4+7raiz38-2r) = 162pi +567raiz3 -129664

Resposta

162pi + 567raiz3 - 129664

Exercícios relacionados