Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
integral0^1 raizx^2+1 d x

Passo 1

O problema pede
integral0^1raizx^2+1,dx
e sugere usar substituição trigonométrica. Como dentro da raiz temos x^2+1, escolhemos
x = tantheta,
porque então
raizx^2+1 = raiztan^2theta+1 = sectheta
Esse é o conteúdo de integração via substituição trigonométrica.

Passo 2

Com x=tantheta temos
dx = sec^2theta,dtheta,
e os limites de integração em x se tornam, para x=0, theta=0; e para x=1, theta=pi/4. A integral vira
integral0^1raizx^2+1,dx =integral0^pi/4sectheta;l(sec^2theta,dthetar) =integral0^pi/4sec^3theta,dtheta

Passo 3

Para calcular
integralsec^3theta,dtheta
usamos a primitiva conhecida
integralsec^3theta,dtheta =12l(secthetatantheta+lnlvertsectheta+tanthetarvertr)+C
Logo, aplicando de 0 a pi/4:
integral0^pi/4sec^3theta,dtheta =12l[secthetatantheta+lnl(sectheta+tanthetar)r]0^pi/4

Passo 4

Avaliaremos no extremo superior theta=pi/4:
sec(pi/4)=raiz2, tan(pi/4)=1, logo
secthetatanthetal|pi/4=raiz2cdot1=raiz2, lnl(sectheta+tanthetar)l|pi/4=lnl(raiz2+1r)
No extremo inferior theta=0: sec0=1, tan0=0, então tudo dá zero. Assim
integral0^pi/4sec^3theta,dtheta =12l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

Resposta

integral0^1raizx^2+1,dx =raiz22+12lnl(raiz2+1r)

Exercícios relacionados