Calcule, se possível, as integrais impróprias:
integral4^infty e^-y / 2 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral4^infty e^-y/2,dy
Estamos lidando com uma função exponencial decrescente em [4,infty). Para resolver, vamos usar a definição de integral imprópria como limite de uma integral própria e encontrar a antiderivada de e^-y/2.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como
integral4^infty e^-y/2,dy = limbtoinfty integral4^b e^-y/2,dy
Agora calculamos a antiderivada de e^-y/2. Como
ddyl(-2e^-y/2r) = -2cdotl(-tfrac12r)e^-y/2 = e^-y/2,
vemos que
integral e^-y/2,dy = -2e^-y/2 + C

Passo 3

Usando a antiderivada para avaliar de 4 a b:
integral4^b e^-y/2,dy = l[-2e^-y/2r]y=4^y=b = -2e^-b/2 -l(-2e^-4/2r) = -2e^-b/2 + 2e^-2
Agora tomamos o limite btoinfty. Como e^-b/2to0 quando btoinfty, concluímos
limbtoinftyl(-2e^-b/2 + 2e^-2r) = 2e^-2

Resposta

integral4^infty e^-y/2,dy = 2e^-2

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