Calcule, se possível, as integrais impróprias:
integral-infty^infty x1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x1+x^2 ,dx
Esse tipo de integral envolve pontos de descontinuidade no infinito, então vamos dividi-la em
integral-infty^0x1+x^2,dx e integral0^inftyx1+x^2,dx

Passo 2

Para integrar x1+x^2, usamos a substituição u=1+x^2, de modo que du=2x,dx. Logo,
integral x1+x^2,dx = 12integral 1u,du = 12lnl|ur|+C = 12lnl(1+x^2r)+C

Passo 3

Avaliamo-os a parte de 0 até +infty:
integral0^inftyx1+x^2,dx = limbtoinftyl[tfrac12lnl(1+x^2r)r]0^b = limbtoinftyl(tfrac12ln(1+b^2) - tfrac12ln(1+0^2)r) = limbtoinftytfrac12ln(1+b^2) = +infty
Portanto essa parte diverge.

Passo 4

Agora a parte de -infty até 0:
integral-infty^0x1+x^2,dx = limato-inftyl[tfrac12lnl(1+x^2r)r]a^0 = limato-inftyl(tfrac12ln(1+0^2) - tfrac12ln(1+a^2)r) = -limato-inftytfrac12ln(1+a^2) = -infty
Essa parte também diverge (para -infty).

Passo 5

Como ambas as integrais laterais divergem, a soma
integral-infty^inftyx1+x^2,dx
não é convergente. Em outras palavras, o integral impróprio diverge.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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