Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{16-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado nos pede calcular \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{16 - x^{2}}}.
O conteúdo aqui é integração por substituição trigonométrica para expressões do tipo \sqrt{a^{2} - x^{2}}.

Passo 2

Escolhemos a substituição
x = 4\sin\theta,
de modo que
dx = 4\cos\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{16 - x^{2}} = \sqrt{16 - 16\sin^{2}\theta} = 4\cos\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{16 - x^{2}}} = \int \frac{4\cos\theta\,d\theta}{(4\sin\theta)^{2}\,\bigl(4\cos\theta\bigr)} = \int \frac{4\cos\theta\,d\theta}{16\sin^{2}\theta\;4\cos\theta} = \int \frac{1}{16}\csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integramos
\int \frac{1}{16}\csc^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{16}\int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\frac{1}{16}\cot\theta + C.

Passo 5

De volta à variável x, temos
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}/4}{x/4} = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x}.
Logo a primitiva é
-\frac{1}{16}\,\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{16 - x^{2}}} = -\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{16\,x} + C.

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