Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas
\int \frac{\sqrt{x^{2}}-9 .}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{3}}\,dx.
O conteúdo principal é usar a substituição trigonométrica para integrandos com \sqrt{x^{2}-a^{2}}. Aqui a=3, então vamos usar x=3\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Fazendo
x=3\operatorname{sec}\theta,\quad dx=3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}-9}=3\tan\theta, \quad x^{3}=27\operatorname{sec}^{3}\theta,
o integrando vira
\int \frac{3\tan\theta}{27\operatorname{sec}^{3}\theta}\;\bigl(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) =\frac{9\operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta}{27\operatorname{sec}^{3}\theta}\,d\theta =\frac{1}{3}\int \frac{\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta.

Passo 3

Como
\frac{\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{2}\theta} =\sin^{2}\theta,
temos
\frac{1}{3}\int \sin^{2}\theta\,d\theta =\frac{1}{3}\int \frac{1-\cos2\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{6}\Bigl(\theta-\tfrac12\sin2\theta\Bigr)+C.

Passo 4

Volta a x: de x=3\operatorname{sec}\theta segue
\theta=\operatorname{arcsec}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
Além disso
\sin\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x},\quad \cos\theta=\frac{3}{x} \quad\Longrightarrow\quad \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta =\frac{6\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}}.

Passo 5

Substituindo em
\frac{1}{6}\theta-\frac{1}{12}\sin2\theta, obtemos
F(x) =\frac{1}{6}\,\operatorname{arcsec}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) -\frac{1}{12}\cdot\frac{6\sqrt{x^{2}-9}}{x^{2}}+C =\frac{1}{6}\,\operatorname{arcsec}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) -\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{2\,x^{2}}+C.

Resposta

F(x) =\frac{1}{6}\,\operatorname{arcsec}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) -\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{2\,x^{2}}+C.

Exercícios relacionados