Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas
\int x^{3} \sqrt{9-x^{2}} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\sqrt{9 - x^{2}} \,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é técnica de integração por substituição, onde identificamos uma expressão da forma \sqrt{a^2 - x^2} e fazemos x = a\sin\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 3\sin\theta,
então
dx = 3\cos\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} = 3\cos\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x^{3}\sqrt{9 - x^{2}} \,dx = \int (3\sin\theta)^{3}\,(3\cos\theta)\,(3\cos\theta\,d\theta) = 243\int \sin^{3}\theta\,\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade \cos^{2}\theta = 1 - \sin^{2}\theta, de modo que
\sin^{3}\theta\,\cos^{2}\theta = \sin^{3}\theta\,(1-\sin^{2}\theta) = \sin^{3}\theta - \sin^{5}\theta.
Portanto
243\int \sin^{3}\theta\,\cos^{2}\theta\,d\theta = 243\int\bigl(\sin^{3}\theta - \sin^{5}\theta\bigr)\,d\theta.
Calculamos separadamente
\int \sin^{3}\theta\,d\theta = -\cos\theta + \tfrac{1}{3}\cos^{3}\theta
e
\int \sin^{5}\theta\,d\theta = -\cos\theta + \tfrac{2}{3}\cos^{3}\theta - \tfrac{1}{5}\cos^{5}\theta.
Subtraindo, obtemos
\int\!(\sin^{3}\theta - \sin^{5}\theta)\,d\theta = -\tfrac{1}{3}\cos^{3}\theta + \tfrac{1}{5}\cos^{5}\theta + C.
Multiplicando por 243:
243\bigl(-\tfrac{1}{3}\cos^{3}\theta + \tfrac{1}{5}\cos^{5}\theta\bigr) = -81\cos^{3}\theta + \tfrac{243}{5}\cos^{5}\theta + C.

Passo 5

Voltando ao x, lembramos que \cos\theta = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}. Assim
\cos^{3}\theta = \frac{\bigl(9 - x^{2}\bigr)^{3/2}}{27}, \quad \cos^{5}\theta = \frac{\bigl(9 - x^{2}\bigr)^{5/2}}{243}.
Substituindo:
-81\cos^{3}\theta + \tfrac{243}{5}\cos^{5}\theta = -81\cdot\frac{(9-x^{2})^{3/2}}{27} + \frac{243}{5}\cdot\frac{(9-x^{2})^{5/2}}{243}
= -3\,(9 - x^{2})^{3/2} + \tfrac{1}{5}(9 - x^{2})^{5/2} + C.

Resposta

\int x^{3}\sqrt{9 - x^{2}}\,dx = \frac{1}{5}\,(9 - x^{2})^{5/2} \;-\; 3\,(9 - x^{2})^{3/2} + C.

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